Dolbeault-Kohomologie

Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex

Im Folgenden werde mit ${\mathcal {A}}^{{p,q}}$ die Menge der (p,q) -Differentialformen bezeichnet. Sei eine -dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, $U\subset M$ eine offene Teilmenge und

${\overline {\partial }}\colon {\mathcal {A}}^{p,q}(U)\to {\mathcal {A}}^{p,q+1}(U)$

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {A}}^{p,0}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,1}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,2}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {{\overline {\partial }}_{n-1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,n}(U)\longrightarrow 0$

-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt ${\overline {\partial }}_{k+1}\circ {\overline {\partial }}_{k}=0.$ Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von $\overline{\partial}$ ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie

Aus diesem -ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt -te Dolbeault-Kohomologie und wird durch $H_{\overline {\partial }}^{p}(U)$ notiert. Die -te Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die (q,p) -te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

$H_{\overline {\partial }}^{p,q}(U)=\mathrm {Kern} \left({\overline {\partial }}_{q}\right)/\mathrm {Bild} \left({\overline {\partial }}_{q-1}\right).$

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault

Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit $\Omega^p(M)$ wird die Garbe der holomorphen -Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die -te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen -Formen $H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M))$ isomorph zur -ten Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie $H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)$ ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

$H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)\cong H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M)).$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de