Càdlàg-Funktion

Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym (französisch continue à droite, limite à gauche „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL (right continuous, left limits). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).

Definition

Verteilungsfunktionen sind Beispiele für Càdlàg-Funktionen

Sei ein polnischer Raum wie beispielsweise $\mathbb {R} ^{n}$ . Eine Funktion

$f\colon [0,\infty )\to E$

heißt

Càdlàg-Funktion, wenn für alle $x\in [0,\infty )$ die Funktion in rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in existiert und endlich ist.
Càglàd-Funktion, wenn für alle $x\in [0,\infty )$ die Funktion in linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in existiert und endlich ist.

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen $f\colon I \to \mathbb{R}^d$ auf einem Intervall I = [a,b] , wird oft mit D([a,b]) bezeichnet.

Anwendungen in der Stochastik

Die Verteilungsfunktion $F(x) = P(X \leq x)$ einer reellen Zufallsvariablen ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess $X=(X_t)_{t\geq0}$ wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad $t\rightarrow X_t$ an jeder Stelle rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.

Basierend auf einem Artikel in:

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