Quadratisches Mittel

Das quadratische Mittel (oder der quadratische Mittelwert QMW, englisch: root mean square RMS) ist derjenige Mittelwert, der als Quadratwurzel des Quotienten aus der Summe der Quadrate der beachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet ist.

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den quadratischen Mittelwert ${\sqrt {\frac {1^{2}+2^{2}}{2}}}\approx 1{,}58\ ,$ (arithmetisches Mittel = 1,5 ; die größere Zahl 2 wird beim quadratischen Mittel stärker bewertet).

Berechnung

Für die Berechnung des QMW einer Zahlenreihe werden zunächst die Quadrate aller Zahlenwerte addiert und durch ihre Anzahl n dividiert. Die Quadratwurzel daraus ergibt den QMW.

${\mathrm {QMW}}={\sqrt {{\frac 1n}\sum _{{i=1}}^{n}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}n}}}$ .

Aus geometrischer Sicht ermittelt man aus der Zahlenreihe Quadrate und ermittelt damit ein Quadrat durchschnittlicher Fläche bzw. ein Quadrat mittlerer Größe. Das quadratische Mittel der Seitenlängen aller Quadrate ist die Seitenlänge des Quadrates mittlerer Fläche.

Für fortlaufend vorhandene Größen muss über den betrachteten Bereich integriert werden:

${\mathrm {QMW}}={\sqrt {{\frac 1{t_{2}-t_{1}}}\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{f(t)^{2}\,{\mathrm d}t}}}$ ;

bei periodischen Größen, beispielsweise dem sinusförmigen Wechselstrom, integriert man über eine Anzahl von Perioden.

Wegen der Quadrierung wird er auch „zweites (absolutes) Moment“ genannt, das „dritte Moment“ wäre die Mittelung in der 3. Potenz usw.

Anwendung

In der Technik hat das quadratische Mittel große Bedeutung bei periodisch veränderlichen Größen wie dem Wechselstrom, dessen Leistungsumsatz an einem ohmschen Widerstand (Joulesche Wärme) mit dem Quadrat der Stromstärke ansteigt. Man spricht hier vom Effektivwert des Stromes. Der gleiche Zusammenhang gilt bei zeitlich veränderlichen elektrischen Spannungen.

Bei einer Wechselgröße mit Sinus-Form beträgt der QMW das $(1/{{\sqrt 2}})$ -fache des Scheitelwerts, also ca. 70,7 %. Weiß man nichts über den zeitlichen Verlauf der auftretenden Schwankungen, sollte der Zusammenhang bekannt sein, in dem die Mittelwertbildung vorzunehmen ist, ob eher der Gleichwert (z.B. bei Elektrolyse) oder der Effektivwert (z.B. bei Licht und Wärme) aussagekräftig ist.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de