Korrelationsmatrix

In der Statistik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den jeweiligen Regressoren erfasst. Die Korrelationsmatrix ist mit der Varianz-Kovarianz-Matrix verwandt.

Definition

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors $\mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{K})$ enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten:

${\boldsymbol {R}}\equiv \operatorname {Corr} (\mathbf {X} )=\left({\text{diag}}({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{-1/2}\,{\boldsymbol {\Sigma }}\,\left({\text{diag}}({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{-1/2}={\begin{pmatrix}\rho _{1,1}&\rho _{1,2}&\cdots &\rho _{1,K}\\\\\rho _{2,1}&\rho _{2,2}&\cdots &\rho _{2,K}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{K,1}&\rho _{K,2}&\cdots &\rho _{K,K}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\rho _{1,2}&\cdots &\rho _{1,K}\\\\\rho _{2,1}&1&\cdots &\rho _{2,K}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{K,1}&\rho _{K,2}&\cdots &1\end{pmatrix}}$

mit den (Produkt-Moment)-Korrelationskoeffizienten:

$\rho _{i,j}={\frac {\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}}$

und der Varianz-Kovarianzmatrix ${\boldsymbol {\Sigma }}$ .

Eigenschaften

Sind alle Komponenten des Zufallsvektors ${\mathbf {X}}$ linear unabhängig, so ist ${\boldsymbol {R}}$ positiv definit.

Auf der Hauptdiagonale wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer 1.

Schätzung

Eine Schätzung der Korrelationsmatrix erhält man durch die Verwendung der empirischen Korrelationskoeffizienten $r_{i,j}$

${\begin{aligned}{\widehat {\boldsymbol {R}}}={\widehat {\operatorname {Corr} (\mathbf {X} )}}&={\begin{pmatrix}1&r_{1,2}&\cdots &r_{1,K}\\\\r_{2,1}&1&\cdots &r_{2,K}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\r_{K,1}&r_{K,2}&\cdots &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ .

Siehe auch

Kovarianzmatrix

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de