σ-Subadditivität

Die σ-Subadditivität ist in der Maßtheorie eine Eigenschaft einer Mengenfunktion, also einer Funktion, deren Argumente Mengen sind.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem ${\mathcal {M}}$ auf der Grundmenge , also $\mathcal M \subset \mathcal P (X)$ . Eine Abbildung

$f\colon {\mathcal {M}}\to \left[0,\infty \right]$

heißt σ-subadditiv, wenn für jede Folge von Mengen $A_{1},A_{2},\dots$ aus ${\mathcal {M}}$ und jedes $A\in {\mathcal {M}}$ mit $A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ gilt, dass

$f(A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})$

ist. Man beachte, dass es hierbei nicht notwendig ist, $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}}$ zu fordern.

Beispiele

Jedes äußere Maß ist gemäß Definition σ-subadditiv. Für Prämaße auf Ringen (und somit auch für Maße auf σ-Algebren) ergibt sich die σ-Subadditivität aus der definierenden Eigenschaft der σ-Additivität.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de