Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition

Ein topologischer Raum X\neq \emptyset heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

H\colon X\times [0,1]\to X

und einen festen Punkt p\in X gibt, sodass

gilt.

Beispiel

Schwach zusammenziehbare Räume

Ein topologischer Raum X heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle x\in X die Homotopiegruppen \pi _{n}(X,x) trivial sind, d.h.

\pi _{0}(X,x)={\mathbb  Z} und \pi _{n}(X,x)=0 für alle n\geq 1.

Wenn ein Raum X zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus \pi _{0}(X,x)={\mathbb  Z} und \pi _{n}(X,x)=0 für alle n\ge 0 folgt, dass der CW-Komplex X zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i.A. nicht.

Weitere Resultate

Es liegen die folgenden Resultate vor:

Gegenbeispiele

\left\{\left(x,\sin {\frac  {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}
mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.01. 2019