Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.

Vorbereitende Definitionen

Ist X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren:

$e^{X}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$

Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als

$[X,Y]:=XY-YX\,$

Er ist ein bilinearer Operator. Aus der Definition folgt zunächst das sogenannte Hadamard-Lemma, auch Liesche Entwicklungsformel genannt:

$e^{X}Ye^{{-X}}=\sum _{{m=0}}^{\infty }{\frac {1}{m!}}[X,Y]_{{m}}$

mit $[X,Y]_{{m}}=[X,[X,Y]_{{m-1}}]\,$ und $[X,Y]_{{0}}=Y\,$ .

Die Formel

Falls $[X,[X,Y]]=0\,$ und $[Y,[Y,X]]=0\,$ , gelten die einfachen Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln

$e^{X}e^{Y}=e^{Y}e^{X}e^{{[X,Y]}}\,$

$e^{{X+Y}}=e^{X}e^{Y}e^{{-[X,Y]/2}}\,$ .

Für beliebige und ist die Formel sehr umfangreich und nur noch für X,Y in einer Umgebung der $0$ konvergierend. Sie lautet dann

$e^{X}e^{Y}=e^{{Z(X,Y)}}\,$

mit

${\begin{aligned}Z(X,Y)&{}=X+Y\\&{}+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}([[[[X,Y],Y],Y],Y]+[[[[Y,X],X],X],X])\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}([[[[X,Y],Y],Y],X]+[[[[Y,X],X],X],Y])\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}([[[[Y,X],Y],X],Y]+[[[[X,Y],X],Y],X])+\cdots \end{aligned}}$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de