Exakter Funktor

Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.

Definition

Ein additiver, kovarianter Funktor $F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ heißt

halbexakt, falls $FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''$ exakt ist
linksexakt, falls $0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''$ exakt ist
rechtsexakt, falls $FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0$ exakt ist
exakt, falls $0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0$ exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen $0\rightarrow A\rightarrow A'\rightarrow A''\rightarrow 0$ in ${\mathfrak {C}}$ .

Ein kontravarianter Funktor $F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor ${\mathfrak {C}}^{op}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.

Beispiele

Die Hom-Funktoren $\mathrm {Hom} (A,-)$ und $\mathrm {Hom} (-,B)$ sind linksexakt.
Die Tensorprodukt-Funktoren $(A\otimes -)$ und $(-\otimes B)$ sind rechtsexakt.
Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
Für eine endliche Gruppe ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
Für eine beliebige natürliche Zahl ist der Funktor

${\mathfrak {Ab}}\to {\mathfrak {Ab}},\quad M\mapsto nM$

auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de