Satz von Švarc-Milnor

Der Satz von Švarc-Milnor (in anderen Transkriptionen auch Satz von Schwartz-Milnor oder Satz von Schwarz-Milnor) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der geometrischen Gruppentheorie. Er wurde nach den Mathematikern Albert S. Švarc und John W. Milnor benannt.

Aussage

Sei ein geodätischer metrischer Raum, in dem abgeschlossene Kugeln mit endlichem Radius kompakt sind. Die topologische Gruppe operiere kokompakt auf und für alle kompakten Mengen $K\subset X$ sei die Menge $\{g\in G\mid gK\cap K\neq \emptyset \}$ endlich.

Dann ist endlich erzeugt und für jedes $x_{0}\in X$ ist die Abbildung $G\to X,g\mapsto g.x_{0}$ eine Quasi-Isometrie bzgl. der zu einem (beliebigen) endlichen Erzeugendensystem definierten Wortmetrik.

Beispiele

Die Gruppe $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist quasi-isometrisch zur reellen Zahlengerade $\mathbb {R}$ .
Die Gruppe $\Z^n$ ist quasi-isometrisch zum $\mathbb {R} ^{n}$ .
Die Fundamentalgruppe $\pi _{1}X$ eines kompakten metrischen Raumes ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung $\widetilde {X}$ (falls diese existiert).

Basierend auf einem Artikel in:

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