Halbeinfache Lie-Gruppe

In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.

Äquivalente Charakterisierungen

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

die Killing-Form ist nicht-ausgeartet,
es gibt keine normalen nicht-trivialen auflösbaren Untergruppen,
es gibt keine normalen nicht-trivialen abelschen Untergruppen.

Beispiele

Spezielle lineare Gruppen: $SL(n,\mathbb {R} )$ , $SL(n,\mathbb {C} )$
Spezielle orthogonale Gruppe $SO(p,q)$
Symplektische Gruppe
Die obigen Beispiele sind einfache Lie-Gruppen. Die direkten Produkte endlich vieler einfacher Lie-Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie-Gruppen.
Halbeinfache algebraische Gruppen über $\mathbb {C}$ sind halbeinfache Lie-Gruppen.

Maximal kompakte Untergruppe

Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe . Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von $SL(n,\mathbb{R} )$ und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von $SL(n,\mathbb {C} )$ .

Symmetrischer Raum

Sei eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe . Der Quotient G/K ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Der duale symmetrische Raum wird mit $G^{u}/K$ bezeichnet. Seine Isometriegruppe $G^{u}$ ist eine kompakte Lie-Gruppe.

Basierend auf einem Artikel in:

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