Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte.

Aussage

Höldersche Ungleichung

Gegeben sei ein Maßraum $(X, \mathcal A, \mu)$ und messbare Funktionen

$f,g\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}$

Für $p \in [1,\infty)$ und mit der Konvention $\infty ^{p}=\infty ^{\frac {1}{p}}=\infty$ definiert man

$H_{p}(f)=\left(\int _{X}|f|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\tfrac {1}{p}}$

und

$H_{\infty }(f)=\mathrm {ess} \sup _{x\in X}f(x)$

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für $1\leq p,q\leq \infty$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ , wobei ${\tfrac {1}{\infty }}=0$ vereinbart ist, gilt

$H_{1}(fg)\leq H_{p}(f)\cdot H_{q}(g)$

Man bezeichnet als den zu konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ der Raum der -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist $\|\cdot \|_{p}$ die Lp-Norm, so gilt für $f\in {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ),g\in {\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ immer

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}$ .

Spezialfälle

Schwarzsche Ungleichung

Wählt man als Maßraum $([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )$ , also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen $f,g\in {\mathcal {L}}^{2}([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )$ , so lautet die Hölder-Ungleichung mit $p=q=2$

$\int _{a}^{b}|fg|\mathrm {d} \lambda \leq \left(\int _{a}^{b}|f|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}\cdot \left(\int _{a}^{b}|g|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}$

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

Wählt man als Maßraum die endliche Menge $\{1,\ldots ,n\}$ , versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum _{{k=1}}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{{k=1}}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{{1/p}}\left(\sum _{{k=1}}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{{1/q}},$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}$ . Für p=q=2 erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{2}\cdot \|y\|_{2}$

Höldersche Ungleichung für Reihen

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ , wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

$\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}$ .

für reelle oder komplexe Folgen $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} },(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ . Im Grenzfall $q=\infty$ entspricht dies

$\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|\right)\cdot \sup _{k\in \mathbb {N} }|b_{k}|$ .

Verallgemeinerung

Es seien $p_{j}\in [1,\infty ],j=1,\ldots ,m$ sowie $\textstyle {\frac {1}{r}}:=\sum _{{j=1}}^{m}{\frac {1}{p_{j}}}$ und $f_{j}\in L^{{p_{j}}}(S)$ für alle $j=1,\ldots ,m$ .

Dann folgt

$\prod _{{j=1}}^{m}f_{j}\in L^{r}(S)$

und es gilt die Abschätzung

$\left\|\prod _{j=1}^{m}f_{j}\right\|_{r}\leq \prod _{j=1}^{m}\left\|f_{j}\right\|_{p_{j}}.$

Umgekehrte höldersche Ungleichung

Es sei $g(x)\neq 0$ für fast alle $x\in S$ .

Dann gilt für alle r>1 die umgekehrte höldersche Ungleichung

$\int _{S}|f(x)g(x)|dx\geq \left(\int _{S}|f(x)|^{{{\frac {1}{r}}}}dx\right)^{r}\left(\int _{S}|g(x)|^{{-{\frac {1}{r-1}}}}dx\right)^{{-(r-1)}}.$

Beweise

Beweis der hölderschen Ungleichung

Für $p=1,q=\infty$ (und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass $1 < p,q < \infty$ gilt. Ohne Einschränkung seien $\|f\|_{p}>0$ und $\|g\|_{q}>0$ . Nach der youngschen Ungleichung gilt:

$AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}$

für alle $A,B\geq 0$ . Setze hierin speziell $A:={\tfrac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}},\,B:={\tfrac {|g(x)|}{\|g\|_{q}}}$ ein. Integration liefert

${\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{q}}}\int _{S}|fg|\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$

was die höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über geführt. Der Fall m=1 ist trivial. Sei also nun $m\geq 2$ und ohne Einschränkung sei $p_{1}\leq \cdots \leq p_{m}$ . Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_{m}=\infty .$ Dann ist $\textstyle {\frac {1}{r}}=\sum _{{j=1}}^{{m-1}}{\frac {1}{p_{j}}}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

$\|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\cdots f_{{m-1}}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\|_{{p_{1}}}\cdots \|f_{{m-1}}\|_{{p_{{m-1}}}}.$

Fall 2: $p_{m}<\infty$ . Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten ${\tfrac {p_{m}}{p_{m}-r}},{\tfrac {p_{m}}{r}}$ gilt

$\int _{S}|f_{1}\cdots f_{{m-1}}|^{r}|f_{m}|^{r}\leq \left(\int _{S}|f_{1}\cdots f_{{m-1}}|^{{{\frac {rp_{m}}{p_{m}-r}}}}\right)^{{{\frac {p_{m}-r}{p_{m}}}}}\left(\int _{S}|f_{m}|^{{p_{m}}}\right)^{{{\frac {r}{p_{m}}}}},$

also $\textstyle \|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{{m-1}}\|_{{{\tfrac {rp_{m}}{p_{m}-r}}}}\|f_{m}\|_{{p_{m}}}$ . Nun ist $\textstyle \sum _{{j=1}}^{{m-1}}{\frac {1}{p_{j}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{m}}}={\frac {p_{m}-r}{rp_{m}}}$ . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung

Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten p:=r und $q:=r'={\tfrac {p}{p-1}}$ wählt. Man erhält damit:

$\int _{S}|f|^{{{\frac {1}{r}}}}=\int _{S}\left(|fg|^{{{\frac {1}{r}}}}\cdot |g|^{{-{\frac {1}{r}}}}\right)\leq \left(\int _{S}|fg|\right)^{{{\frac {1}{r}}}}\left(\int _{S}|g|^{{-{\frac {r'}{r}}}}\right)^{{{\frac {1}{r'}}}}.$

Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

Anwendungen

Beweis der Minkowski-Ungleichung

Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im $L^{p}$ ) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

Seien $f\in L^{p}(S)\cap L^{q}(S)$ und $1\leq q\leq r\leq p$ , dann folgt $f\in L^{r}(S)$ und es gilt die Interpolationsungleichung

$\|f\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{{1-\theta }}\|f\|_{q}^{\theta }$

mit ${\tfrac {1}{r}}=:{\tfrac {1-\theta }{p}}+{\tfrac {\theta }{q}}$ beziehungsweise $\theta :={\tfrac {q}{r}}{\tfrac {p-r}{p-q}}$ für $q\neq p$ .

Beweis: Ohne Einschränkung sei q<r<p . Fixiere $t\in (0,1)$ mit r=tp+(1-t)q . Beachte, dass $\tfrac{1}{t}$ und ${\tfrac {1}{1-t}}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt