Bernsteinpolynom
Die Bernsteinpolynome (nach Sergei Natanowitsch Bernstein) sind eine besondere Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.
Nutzen und Geschichte
Die Bernsteinpolynome haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven Beweis für den Approximationssatz von Weierstraß angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. Paul de Faget de Casteljau bei Citroën und Pierre Bézier bei Renault nutzten die Bernsteinpolynome bei ihrer Entwicklung von Bézierkurven und legten damit den Grundstein des heutigen Computer Aided Design (CAD).
Definition
Für
heißen die reellen
Polynome
(mit )
die Bernsteinpolynome vom Grad
.
Durch affine
Transformation (Abbildung des Intervalls
auf ein beliebiges Intervall
)
erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome
.
Dabei bezeichnet
Beispiel
Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome ,
vom Grad
:
Eigenschaften
Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls
haben folgende Eigenschaften:
- Basiseigenschaft: Die Bernsteinpolynome
sind linear unabhängig und bilden eine Basis von
, dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich
.
- Positivität:
für alle
.
- Extrema:
besitzt im Intervall
genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle
. Man erhält insbesondere:
- Zerlegung
der Eins (auch Partition der Eins):
- (Ergibt sich mit Hilfe des binomischen
Lehrsatzes aus
.)
- Symmetrie:
- Rekursionsformel:
, mit der Definition
für
oder
- Gradanhebung:
- Ableitungen:
, mit der Definition
- Stammfunktion:
Approximation durch Bernsteinpolynome
Für eine Funktion
heißt das durch
definierte Polynom
das
-te
Bernsteinpolynom der Funktion
.
Ist
eine stetige
Funktion auf dem Intervall
,
so konvergiert die Folge ihrer Bernsteinpolynome
gleichmäßig
gegen
.
Der Beweis dieses Satzes kann mit Hilfe des schwachen Gesetzes der Großen Zahlen oder des Satzes von Korowkin durchgeführt werden.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.10. 2020