Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus

Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans hyperbolicus bzw. Kosekans hyperbolicus. Als Funktionen werden sie {\displaystyle \operatorname {arsech} } oder seltener {\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}} bzw. {\displaystyle \operatorname {arcsch} (x)} und seltener {\displaystyle \operatorname {csch} ^{-1}(x)} geschrieben.

Definitionen

Man definiert den Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus meist über:

{\displaystyle \operatorname {arsech} (x)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcsch} (x)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)}

Hierbei steht \ln für den natürlichen Logarithmus.

Eigenschaften

Graph der Funktion Areasekans hyperbolicus
Graph der Funktion Areakosekans hyperbolicus
  Areasecans hyperbolicus Areakosekans hyperbolicus
Definitionsbereich {\displaystyle 0<x\leq 1} {\displaystyle -\infty <x<+\infty \,;\,x\neq 0}
Wertebereich {\displaystyle 0\leq f(x)<+\infty } {\displaystyle -\infty <f(x)<+\infty \,;\,f(x)\neq 0}
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton fallend x\neq 0 streng monoton fallend
Symmetrien keine Ungerade Funktion
{\displaystyle f(x)=-f(-x)}
Asymptote {\displaystyle  f(x) \to 0 }  ; {\displaystyle x\to +1} {\displaystyle  f(x) \to 0 }  ; {\displaystyle x\to \pm \infty }
Nullstellen  x = 1 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen  x = 0  x = 0
Extrema keine keine
Wendepunkte {\displaystyle x={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}} keine

Spezielle Werte

Es gilt:

{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,2=\ln \Phi }

wobei {\displaystyle \!\ \Phi } den goldenen Schnitt bezeichnet.

Reihenentwicklungen

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {2}{x}}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{2k}}{(2k)!!2k}}&\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \,0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {P_{k-1}(0)}{k}}x^{k}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\cdot ({\tfrac {1}{2}})_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}}\,x^{1-2k}\end{alignedat}}}

Dabei ist P_k das k-te Legendre-Polynom und {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}})_{n}} steht für das Pochhammer-Symbol.

Ableitungen

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {arsech}}(x)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsch} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}.

Integrale

Stammfunktionen des Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus sind:

{\displaystyle \int \operatorname {arsech} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arsech} (x)-\arctan \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)+C}
{\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsch} (x)+\ln \left(x+x{\sqrt {1+{x}^{-2}}}\right)+C.}

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

{\displaystyle \operatorname {arsech} \,(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,(x)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)}

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.12. 2021