Pyramidenstumpf

Pyramidenstumpf

Spezialfall: Körpernetz des Pyramidenstumpfes einer regelmäßigen quadratischen Pyramide. Das Netz besteht aus einer jeweils quadratischen Grund- und Deckfläche sowie einer Mantelfläche aus vier kongruenten gleichschenkligen Trapezen.

Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen speziellen Typ von Polyedern (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer Pyramide (Ausgangspyramide) parallel zur Grundfläche an den Mantelflächen eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.

Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere als Deckfläche. Den Abstand zwischen Grund- und Deckfläche nennt man die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

$V={\frac {h}{3}}\left(A_{\text{1}}+{\sqrt {A_{\text{1}}\cdot A_{\text{2}}}}+A_{\text{2}}\right)$

Dabei stehen A₁ für die Grundfläche, A₂ für die Deckfläche und h für die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Für die aus Trapezen zusammengesetzte Mantelfläche gibt es keine einfache Formel. Je schiefer die Pyramide, bzw. der Pyramidenstumpf ist, desto größer ist die jeweils zugehörige Mantelfläche.

Beweise

Volumen

Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden $h_{1}$ als Höhe der Ausgangspyramide und $h_{2}$ als Höhe der Ergänzungspyramide definiert. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass

${\frac {h_{1}}{h_{2}}}=k$ und daher auch ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}=k^{2}$ .

Dabei ist der Streckfaktor der zentrischen Streckung.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:

$V=V_{1}-V_{2}={\frac {1}{3}}h_{1}\cdot A_{1}-{\frac {1}{3}}h_{2}\cdot A_{2}$ .

Aus ${\frac {h_{1}}{h_{2}}}=k$ und ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}=k^{2}$ folgt ${\frac {h_{1}}{h_{2}}}={\frac {{\sqrt {A_{1}}}}{{\sqrt {A_{2}}}}}$ .

Die Substitution $\lambda ={\frac {h_{2}}{{\sqrt {A_{2}}}}}$ ergibt $h_{2}=\lambda \cdot {\sqrt {A_{2}}}$ und $h_{1}=\lambda \cdot {\sqrt {A_{1}}}$ .

Damit kann man das Volumen umschreiben:

$V={\frac {\lambda \cdot {\sqrt {A_{1}}}\cdot A_{1}}{3}}-{\frac {\lambda \cdot {\sqrt {A_{2}}}\cdot A_{2}}{3}}={\frac {\lambda \cdot ({A_{1}}^{{3/2}}-{A_{2}}^{{3/2}})}{3}}$ .

Mit Hilfe der Formel $a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})$ angewendet auf $a={\sqrt {A_{1}}}$ und $b={\sqrt {A_{2}}}$ ist das Volumen

$V={\frac {\lambda }{3}}\left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)\left({\sqrt {A_{1}}}^{2}+{\sqrt {A_{1}}}{\sqrt {A_{2}}}+{\sqrt {A_{2}}}^{2}\right)$

oder einfacher

$V={\frac {\lambda }{3}}\left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)\left(A_{1}+{\sqrt {A_{1}}}{\sqrt {A_{2}}}+A_{2}\right)$ .

Der Faktor $\lambda \cdot \left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)$ ist die Höhe :

$\lambda \cdot \left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)=\lambda \cdot {\sqrt {A_{1}}}-\lambda \cdot {\sqrt {A_{2}}}=h_{1}-{\frac {h_{2}}{\sqrt {A_{2}}}}\cdot {\sqrt {A_{2}}}=h$ .

Daraus ergibt sich

$V={\frac {h}{3}}\left(A_{1}+{\sqrt {A_{1}\cdot A_{2}}}+A_{2}\right)$ .

Entartungen

Streben Grundfläche und Deckfläche gegen einen Kreis, erhält man einen Kegelstumpf, für den dieselbe Volumenformel gilt.
Strebt A₂ gegen A₁, erhält man ein Prisma, dessen Volumenformel sich durch A₁ = A₂ = A entsprechend vereinfacht.
Strebt A₂ gegen 0, erhält man eine Pyramide.

Literatur

Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de