P (Komplexitätsklasse)

In der Komplexitätstheorie ist P (auch: PTIME) diejenige Komplexitätsklasse, die alle Entscheidungsprobleme enthält, die in Polynomialzeit für deterministische Turingmaschinen lösbar sind. Diese Problemklasse wird allgemein als die Klasse der „praktisch lösbaren“ Probleme betrachtet.

Eine Verallgemeinerung von P ist die Klasse NP. Die Probleme aus NP sind zwar ebenfalls in Polynomialzeit entscheidbar, jedoch wird hierfür ein nicht realisierbares, nämlich nichtdeterministisches Maschinenmodell eingesetzt. P ist sicher eine Teilmenge von NP. Es gehört jedoch zu den wichtigsten ungelösten Fragen der theoretischen Informatik, ob P = NP gilt (siehe auch P-NP-Problem).

P ist unter Komplementbildung abgeschlossen.

Beziehung zu anderen Komplexitätsklassen

Die folgenden Beziehungen sind bekannt:

L ⊆ NL ⊆ LOGCFL ⊆NC ⊆ P ⊆ NP ⊆PSPACE = NPSPACE ⊆ EXPTIME ⊆ NEXPTIME ⊆ EXPSPACE = NEXPSPACE

LOGCFL $\not=$ PSPACE $\not=$ EXPSPACE

P $\not=$ EXPTIME

P-Vollständigkeit

Ein Entscheidungsproblem heißt P-vollständig genau dann, wenn es in der Komplexitätsklasse P liegt und wenn jedes Problem in P durch eine Berechnung mit logarithmischem Platzverbrauch auf reduziert werden kann, das heißt, wenn jede dieser Reduktionen in der Komplexitätsklasse L liegt (siehe auch: Vollständigkeit in der Komplexitätstheorie).

Ein bekanntes P-vollständiges Problem ist das Circuit-Value-Problem, bei dem bestimmt werden soll, ob das Ergebnis eines Booleschen Schaltkreises bei gegebener Eingabe einer gegebenen Ausgabe entspricht. Diese Probleme gehören zu den schwersten, noch effizient lösbaren Problemen aus der Komplexitätsklasse P. P-vollständige Probleme sind (momentan) schwer zu parallelisieren.

Bekannte Probleme in P

Sehr viele Probleme liegen in P, was im Allgemeinen nicht besonders wahrgenommen wird; in der Regel kennt man dann auch einen geeigneten Algorithmus (so das Sortierungsproblem mit z. B. Quicksort, Laufzeit $\mathcal O(n^2)$ > usw.).

PRIMES ist ein Problem, das entgegen vielen früheren Vermutungen doch in P liegt (AKS-Primzahltest, 2002)

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de