Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei $\ (G,\cdot )$ eine Gruppe und $\circ :G\times M\rightarrow M$ eine Operation von auf einer Menge . Dann ist für jedes $x\in M$ die Abbildung

$G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x$

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

$G\circ x:=\{g\circ x\ |\ g\in G\}\subseteq M$ die Bahn von ,
$G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G$ den Stabilisator von und
$G/G_{x}:=\{g\cdot G_{x}\ |\ g\in G\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)$ die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe $G_{x}$ in .

Beweis

Wohldefiniertheit: Aus $s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}$ folgt $s^{-1}\cdot t\in G_{x}$ , also $s\circ x=s\circ ((s^{-1}\cdot t)\circ x)=(s\cdot s^{-1}\cdot t)\circ x=t\circ x$ .
Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
Injektivität: Es bezeichne das neutrale Element von . Aus $s\circ x=t\circ x$ folgt $(s^{-1}\cdot t)\circ x=s^{-1}\circ (t\circ x)=s^{-1}\circ (s\circ x)=(s^{-1}\cdot s)\circ x=e\circ x=x$ , also $s^{-1}\cdot t\in G_{x}$ . Dies impliziert $s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}$ .

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall $|G\circ x|<\infty$ ist $(G:G_{x})=|G\circ x|$ . Dabei bezeichnet $\ (G:G_{x}):=|G/G_{x}|$ den Index von $G_{x}$ in . Für endliche Gruppen gilt daher die Bahnformel

$\ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|$ .

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation $g\circ x:=gxg^{{-1}}$ . Die Bahn $G\circ x:=\{gxg^{{-1}}\ |\ g\in G\}$ eines Elements $x\in G$ bezeichnet man als Konjugationsklasse von . Der Stabilisator $G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{{-1}}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\}$ heißt Zentralisator von und wird mit $Z_{G}(x)$ bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen

$|G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|$ .

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe auf transitiv, so ist

$|M|=|G\circ x|=(G:G_{x})$ .

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de