Trajektorien

Sing.: Trajektorie [lat.]
Der physikalische Begriff Trajektorie (auch: Bahnkurve, oder Pfad) bezeichnet eine Raumkurve, entlang der sich ein Punkt – z. B. der Schwerpunkt eines starren Körpers – bewegt. Die Wegstrecke entlang der Trajektorie hat meist das Formelzeichen s (von lat.: spatium = „Weg“, „Zwischenraum“).

Unterschiedliche Flugbahnen bei einem schiefen Wurf gleichen Abwurfwinkels (70°) unter verschiedenen Bedingungen:
mit Newton-Reibung (grün), mit Stokes-Reibung (blau)
sowie ohne Reibung (schwarz, Wurfparabel des freien Falls).

Die Untersuchung der Trajektorie als zeitabhängiger Verlauf des Ortes in einem Bezugssystem ist Gebiet der Dynamik und Kinematik. Die reine Beschreibung der Bewegung wird als Kinematik bezeichnet.
Im engeren Sinne handelt es sich um den Verlauf eines dynamischen Systems im Phasenraum.
Die möglichen Ursachen von Änderungen des Bewegungszustandes werden in der Mechanik behandelt: Ein massebehafteter Körper bewegt sich nach den Newtonschen Gesetzen. Kann die auf den Körper einwirkende Gesamtkraft durch ein Kraftfeld modelliert werden, so bezeichnet man die resultierende Trajektorie auch als Flugbahn.

Mathematische Beschreibung

Eine Trajektorie im 3-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich in einer Parameterdarstellung durch den Ortsvektor ${\vec {r}}(\phi )$ als stückweise stetige Funktion eines geeigneten Parameters $\phi$ darstellen.

Die vektorielle Größe

${\vec {\Delta s}}=\int \limits _{{\vec {r}}_{1}}^{{\vec {r}}_{2}}\mathrm {d} {\vec {r}}(\phi )=\int \limits _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}\phi }}{\rm {d\phi }}={\vec {r}}(\phi _{2})-{\vec {r}}(\phi _{1})$

mit ${\vec {r_{i}}}={\vec {r}}(\phi _{i})$ , entspricht der Differenz der Ortsvektoren des Merkmals zwischen dem Ende und dem Anfang der Bewegung. Zweckmäßigerweise wird dabei oft die Zeit als Parameter verwendet, $\phi _{i}\equiv t_{i}$ .

Die Wegstrecke (zu lat. spatium „Weg“, „Zwischenraum“) bis zu einem Punkt auf der Trajektorie bei $\phi _{2}$ berechnet sich bezogen auf einen Startpunkt ( $\phi _{1}$ ) mit Hilfe des stets positiven Linienelements ${\rm {d}}s$ bzw. der 2-Norm $\|...\|_{2}$ gemäß:

$s_{\phi _{1}}(\phi _{2})=\int \limits _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\rm {d}}s=\int \limits _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}\left\|{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}\phi }}\right\|_{2}{\rm {d}}\phi$

Für viele Fälle der kinematischen Beschreibung stellt die Wegstrecke einen geeigneten Parameter dar, da mit ihrer Hilfe die Trajektorie kinematisch als ${\vec {r}}(s)$ auf eine Art beschrieben beschrieben werden kann, die weder die Kenntnis anderer physikalischer Größen wie z.B. der Geschwindigkeit, noch die Einführung eins willkürlich wählbaren Parameters erfordert.

Für die dynamische Beschreibung der Trajektorie (Bewegungsgleichungen) wird oft die Zeit als Parameter gewählt. Mit Hilfe der vektoriellen Geschwindigkeit ${\vec {v}}={\frac {{\rm {d}}{\vec {\Delta s}}}{{\rm {d}}t}}=\lim _{s_{2}\rightarrow s_{1}}{\frac {{\vec {\Delta s}}(s_{1},s_{2})}{t(s_{2})-t(s_{1})}}$ bzw. ihrem Betrag, der Bahngeschwindigkeit $v={\frac {{\rm {d}}s}{{\rm {d}}t}}=\left|{\vec {v}}\right|$ , lassen sich die beiden Beschreibungen ineinander überführen.