Homogener Raum
Ein homogener Raum (seltener Kleinscher Raum oder Kleinsche Geometrie nach Felix Klein) ist in der Mathematik ein Raum mit einer transitiven Gruppenwirkung. Die entsprechende Gruppe wird Bewegungsgruppe genannt.
Anschaulich bedeutet diese Homogenität, dass der Raum „in jedem Punkt gleich
aussieht“. Beispielsweise sind zusammenhängende
differenzierbare
Mannigfaltigkeiten homogen, denn zu je zwei Punkten
gibt es einen Diffeomorphismus,
der
auf
abbildet. Eine wichtige Klasse der homogenen Räume sind die
Riemannschen
homogenen Räume.
Definition
Sei
eine Menge, auf der die Gruppe
transitiv
operiert. Das heißt, es gibt eine Abbildung
mit den Eigenschaften
- für alle
und alle
gilt
-
,
- für alle
gilt
-
,
- wobei
das neutrale Element ist und
- für jedes Paar
gibt es ein
mit
-
.
Das Tupel
heißt dann homogener Raum und
nennt man die Bewegungsgruppe des homogenen Raums.
Beispiele
Oftmals hat die zugrundeliegende Menge des homogenen Raums eine zusätzliche Struktur. In den folgenden drei Beispielen werden homogene Räume der mathematischen Teilgebiete Gruppentheorie, Topologie und Riemannschen Differentialgeometrie betrachtet.
Nebenklassenraum
Ein Beispiel eines homogenen Raums ist die Nebenklasse
einer Gruppe
mit einer Untergruppe
.
Die Gruppe
operiert durch
auf ,
wodurch
zu einem homogenen Raum wird.
Riemannscher homogener Raum
Oft sind Riemannsche homogene Räume gemeint, wenn von homogenen Räumen die
Rede ist. Hier gibt es zu je zwei Punkten
eine Isometrie,
die
auf
abbildet. Riemannsche homogene Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen in
der Riemannschen
Geometrie. Ihre Krümmung
kann oft mit algebraischen Methoden berechnet werden.
Eigenschaften
Falls die transitiv wirkende Gruppe
endlich ist, gilt für die Mächtigkeit der Menge
die Formel
,
wobei
den Stabilisator
eines (beliebigen) Elements
bezeichnet.
Siehe auch
Literatur
- Kai Köhler: Differentialgeometrie und homogene Räume, S. 151 ff., Wiesbaden : Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-8348-1569-9



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.10. 2020