Konfinalität
In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal (auch: kofinal, engl. cofinal) Anwendung bei topologischen Teilnetzen, so auch bei den proendlichen Zahlen. Der davon abgeleitete Begriff der Konfinalität (auch: Kofinalität, engl. cofinality) bezeichnet ein spezielles Attribut von halbgeordneten Teilmengen, nämlich eine Kardinalzahl.
Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.
Definitionen
- Sei
eine durch
partiell geordnete Menge und
. Die Menge
heißt konfinal (kofinal) in
(oder, wenn es mehrere partielle Ordnungen auf
gibt, konfinal in
), falls zu jedem
ein
mit
existiert.
- Die Konfinalität von
wird mit
bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalität einer konfinalen Teilmenge, d.h.
-
.
- Für eine Ordinalzahl
und damit auch für eine jede Kardinalzahl
hat man folgende Begriffsbildung:
-
- Falls
, so heißt
singulär.
- Falls
, so heißt
regulär.
- Falls
Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff
In Hausdorffs Grundzüge der Mengenlehre findet man die eine allgemeinere Begriffsbildung zur Konfinalität, welche im Falle, dass eine linear geordnete Menge vorliegt, mit der obigen übereinstimmt. Dieser allgemeinere Begriff lässt sich folgendermaßen darstellen:
- Ist
eine nichtleere teilweise geordnete Menge und
eine darin liegende nichtleere Teilmenge, so sagt man,
sei mit
konfinal, wenn kein Element
existiert, welches echt größer ist als jedes Element
.[3]
Folgerungen
- Die Relation
-
ist kofinal in
- ist transitiv
und reflexiv,
also eine Quasiordnung.
- Transitivität: Ist
und
, dann ist erstens
. Zweitens gibt es zu jedem
ein
mit
. Ist nun
, dann gibt es ein
mit
, also auch ein
mit
. Zusammengenommen folgt
.
- Die Reflexivität ist trivial.
- Transitivität: Ist
- Die Konfinalität ist genau dann
, wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
- Die Konfinalität ist genau dann
, wenn die Ordnung ein Maximum besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
- Für nicht-leere partiell geordnete Mengen ohne maximale Elemente
ist die Konfinalität mindestens abzählbar,
also
(siehe Aleph-Funktion), und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
- Für totalgeordnetes
gilt
, das heißt
ist regulär.
- Für eine Limeszahl
(aufgefasst als Von-Neumann-Ordinalzahl) ist eine Teilmenge
genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung
gleich
ist.
- Besitzt eine unendliche Menge
reguläre Kardinalität
, so benötigt man mindestens
-viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als
, um
als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
- Für eine Limeszahl
ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als Netz, versehen mit der natürlichen Ordnung, in der Ordnungstopologie von
gegen
konvergiert.
Beispiele
- Die Konfinalität von
mit der natürlichen Ordnung ist
, denn die natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
ist regulär.
- Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
- Die Kardinalzahl
ist singulär. Es gilt
, denn
ist eine konfinale Teilmenge.
- Ist
eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist
stets regulär. Die Frage, ob es neben
weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der Große-Kardinalzahl-Axiome, d.h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.
Literatur
- Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= Vieweg-Studium. 58 Grundkurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u.a. 1985, ISBN 3-528-07258-X.
- Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965. Chelsea Publishing Company New York, N. Y. 1965.
Anmerkungen
- ↑
In Bezug auf die vorliegende Ordnungsrelation
.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.03. 2023