Gδ-Satz von Hausdorff
Der -Satz
von Hausdorff ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1924 von
Felix Hausdorff in den Fundamenta Mathematicae veröffentlicht.
Der
-Satz
wird von manchen Autoren auch dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff zugeschrieben, welcher den Satz für den separablen Fall, das heißt für den Spezialfall polnischer Räume,
bewiesen hatte.
Formulierung des Satzes
- In einem vollständigen metrischen Raum ist ein
Unterraum, welcher eine
-Menge, also die Schnittmenge abzählbar vieler offener Teilmengen ist, stets vollständig metrisierbar.
Umkehrung
Der -Satz
hat eine gewisse Umkehrung in dem von Stefan Mazurkiewicz bewiesenen
Satz von Mazurkiewicz:
- In einem metrischen Raum ist jeder vollständig metrisierbare Unterraum eine
-Menge.
Folgerung
Aus dem -Satz
folgt unmittelbar, dass die Menge der irrationalen Zahlen
mit der von herrührenden Unterraumtopologie
vollständig metrisierbar ist. Konstruktiv lässt sich dies mittels der Angabe eines Homöomorphismus
zum Baire-Raum zeigen.
Literatur
- Felix Hausdorff: Die Mengen Gδ in vollständigen Räumen. In: Fundamenta
Mathematicae. Band 6. Jahrgang, 1924,
S. 146–148.
Digitalisat (PDF; 129 kB).
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.09. 2023