Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m\times n$ -Matrizen.

Zwei Matrizen und sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

$f:{\mathbb {K}}^{n}\to {\mathbb {K}}^{m}$ gibt und es Basen $B_{1},B_{2}$ von $\mathbb{K}^n$ und $C_{1},C_{2}$ von ${\mathbb {K}}^{m}$ gibt, so dass

$A=_{{B_{1}}}M(f)_{{C_{1}}}$ und

$B=_{{B_{2}}}M(f)_{{C_{2}}}$ gilt,

d.h. ist eine Darstellung von bezüglich der Basen $B_{1}$ von $\mathbb{K}^n$ und $C_{1}$ von ${\mathbb {K}}^{m}$ , und ist eine Darstellung von bezüglich der Basen $B_{2}$ von $\mathbb{K}^n$ und $C_{2}$ von ${\mathbb {K}}^{m}$ .

Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m\times n$ -Matrizen und sind äquivalent über dem Körper “ ist folgende Aussage äquivalent:

Es gibt eine invertierbare $m \times m$ -Matrix und eine invertierbare $n\times n$ -Matrix über , so dass gilt.

Aussagen über äquivalente Matrizen

Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

Siehe auch

Ähnlichkeit (Matrix)

Basierend auf Artikeln in:

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