Lager (Statik)

Balken auf zwei Stützlagern (Auflager); links: Festlager; rechts: Loslager
Die Lagerung auf den Spitzen der Dreiecksymbole deutet an, dass dort kein Drehmoment übertragen wird.

Ein Lager im Sinne der Statik stellt die Verbindung zwischen einem Körper und seiner Umgebung her. Im Lager werden diejenigen Kraftgrößen (Kräfte und Momente) übertragen, die die Umgebung einer Bewegung (Verschiebung und Verdrehung) entgegensetzen muss.

Bei der reinen Kraftübertragung (also keine Momentenübertragung) wird zwischen Festlager (Fixlager) und Loslager (bewegliches oder verschiebliches Lager) unterschieden. Ersteres überträgt in alle Richtungen wirkende Kräfte. Bei einem Loslager ist in einer oder in zwei der drei Richtungen im Raum keine Verbindung vorhanden, meistens überträgt es das Gewicht des Körpers und ist horizontal frei beweglich.

Eine auch Momente übertragende Verbindung wird als Einspannung bezeichnet.

Lagerarten

Festlager (Fixlager)

Ein Festlager unterbindet alle Translations-Bewegungen des gelagerten Körpers. Ein Festlager kann keine Momente aufnehmen und wird daher auch als festes Auflager bezeichnet. Damit sich ein mittels Festlager gelagerter Körper trotz der fehlenden Fähigkeit, Momente aufzunehmen, im Gleichgewicht befindet, muss er in der Ebene an mindestens einer, im Raum an mindestens zwei weiteren Stellen gelagert werden.

Loslager (verschiebliches Lager)

Ein Loslager unter der Mitte einer Eisenbahnbrücke

Ein Loslager, andere übliche Bezeichnungen sind Gleitlager oder verschiebliches Auflager, verhindert eine translatorische Bewegung und lässt die anderen translatorischen und alle rotatorischen Bewegungen zu.

Einspannung

Bei der Einspannung gibt es viele unterschiedliche Arten. Man kann bei Stäben eine (Biege-)Einspannung in der Ebene, eine (Biege-)Einspannung aus der Ebene als auch eine Torsionseinspannung haben, sowie Kombinationen daraus. Über Verschieblichkeiten in den drei Raumrichtungen sagt eine Einspannung nichts aus, jedoch meint man unter Einspannung in der Praxis meist jenes Lager welches die Verschiebungen in allen drei Richtungen als auch die Rotationen in alle drei Richtungen festlegt.

2D-Lagerarten-Symbole

Die drei häufigsten Symbole in ebenen Tragsystemen:

Festlager (kleiner Kreis deutet Dreh-Freiheit an)
Loslager
feste Volleinspannung (eingespannter vertikaler Balken)
Die üblichsten Lager in 2D
schräges Lager

Berechnung der Lagerreaktionen

Bei einem statisch bestimmten Tragwerk lassen sich Lagerkräfte mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnen:

$\Sigma F_{ix}=0,\quad \Sigma F_{iy}=0,\quad \Sigma M_{i}^{(P)}=0$

Die Gleichungen drücken aus, dass die Summen aller horizontalen Kräfte, vertikalen Kräfte und Momente (inklusive Lagerkräfte) bei einem ruhenden Körper jeweils gleich Null sein müssen. Die einzelnen Lagerkräfte errechnen sich durch die Auflösung dieses Gleichungssystems.

Beispiel

Der abgebildete gewichtslose Balken wird von einem Festlager A auf der linken und einem Loslager B auf der rechten Seite getragen. Auf der der rechten Seite greift eine Kraft F an. Da es sich bei A um ein Festlager handelt, kann Auflager A sowohl horizontale wie auch vertikale Kräfte aufnehmen. Lager B, das Loslager, kann hingegen nur vertikale Kräfte aufnehmen.

Zunächst wird das Tragwerk "freigeschnitten". Dafür ersetzt man die Lager durch die Kräfte, die sie aufnehmen können, und teilt jede angreifende Kraft in ihre jeweiligen Komponenten in Bezug auf das Lager. In diesem Fall ergibt sich also $F_{y}=F\,sin\,\alpha$ und $F_{x}=F\,cos\,\alpha$ .

Damit können nun die folgenden Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden.

Die Summe aller horizontalen Kräfte ist:

$\Sigma F_{ix}=0=A_{x}+F_{x}$

$A_{x}$ ist also $-F_{x}$ . Da hier $A_{x}$ einen negativen Wert ergibt, ist die im Bild angenommene Kraftrichtung grafisch falsch gewählt, die tatsächliche Auflagerkraft zeigt in die entgegengesetzte Richtung.

Die Summe aller vertikalen Kräfte ist:

$\Sigma F_{iy}=0=A_{y}+B_{y}-F_{y}$

Diese Gleichung mit zwei Unbekannten lässt sich erst durch zusätzliches Aufstellen des Momentengleichgewichts lösen. Dies kann prinzipiell an jedem Punkt erfolgen. In der folgenden Gleichung wird das Momentengleichgewicht um Auflager B gewählt:

$\Sigma M_{i}^{B}=0=A_{y}\cdot l+F_{y}\cdot a$

Man beachte, dass beide Kräfte positiv aufgeführt sind, obwohl sie in unterschiedliche Richtungen zeigen, da beide Kräfte im Balken ein Drehmoment im Uhrzeigersinn auslösen (bei Aufstellung des Momentengleichgewichts um Auflager A würden die Kräfte entgegengesetzt gerichtete Drehmomente bewirken). Durch Auflösen der Gleichung erhält man für $A_{y}$ :

$A_{y}=-F_{y}\cdot {\frac {a}{l}}$

Auch hier ist die Kraft $A_{y}$ im Lager A negativ. Das Lager hält also den Balken mit der Auflagerkraft nach unten. Ist das Lager nicht dazu fähig, würde der Balken nach oben kippen und sich um Punkt B drehen. Bei der Untersuchung muss darauf geachtet werden, dass das statische Modell die Wirklichkeit intuitiv abbildet, bzw. man sollte sich der Modellfehler bewusst sein.

Mit dem Ergebnis für $A_{y}$ lässt sich nun zum Schluss $B_{y}$ durch Einsetzen berechnen:

$0=-F_{y}\cdot {\frac {a}{l}}+B_{y}-F_{y}$

$B_{y}=F_{y}\cdot {\frac {a}{l}}+F_{y}$

$B_{y}=F_{y}\ ({\frac {a}{l}}+1)$

Feste und verschiebliche Einspannung

Eine (feste) Einspannung ist ein Lager, das sowohl Verschiebungen in alle drei Richtungen als auch Verdrehungen um alle drei Achsen im Lagerpunkt unterbindet, wie es beispielsweise beim Köcherfundament der Fall ist.

Eine verschiebliche Einspannung ist eine Gleitführung, welches Verschiebungen (meist in eine oder zwei Richtungen), aber keine der drei Verdrehungen im Lagerpunkt zulässt.

Festlager (Fixlager) und Loslager (verschiebliches Lager)

Ein Festlager unterbindet alle Verschiebungen und ermöglicht eine oder mehrere Verdrehungen im Lagerpunkt.
Damit ein Körper sich nicht dreht oder kippt, muss er neben dem Festlager in der Ebene an mindestens einer weiteren Stelle, im Raum an mindestens zwei weiteren Stellen gelagert werden.

Ein Loslager wird auch als verschiebliches Auflager oder Gleitlager bezeichnet. Es unterbindet eine oder zwei Verschiebungen (darunter gewöhnlich die Verschiebung durch die Gewichtskraft) und lässt die anderen Verschiebungen und eine oder mehrere Verdrehungen im Lagerpunkt zu.

Die Begriffe Fest- und Loslager werden meist im Zusammenhang verwendet. Beispielsweise wird eine drehbar gelagerte Welle gewöhnlich mit einem unverschieblichen Kugel- oder Gleitlager als Festlager ausgeführt, um zu verhindern, dass die gesamte Welle sich verschiebt. Weitere Lager der Welle werden hingegen als Loslager ausgeführt, um axiale Zwangsspannungen aufgrund der Wärmedehnung der Welle bei Temperaturveränderungen zu vermeiden. Aus dem gleichen Grund werden Fest- und Loslager im Brückenbau angewendet.

Eine durch entsprechende Anordnung von Fest- und Loslagern statisch bestimmte Konstruktion lässt sich einfach berechnen, da keine Rücksicht auf zusätzliche Kräfte und Momente durch Zwangsspannungen in den Lagern genommen werden muss, wie sie bei der Belastung von statisch überbestimmten Tragwerken entstehen.

Fest- und Loslager mit Gelenk werden auch als unverschiebliche bzw. verschiebliche Gelenklager bezeichnet.

Siehe auch

Lager (Maschinenelement) – Lagertypen des Maschinenbaus

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de