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Jordan-Kurve

geschlossene Jordankurve
offene Jordankurve
Kurve, die keine offene Jordankurve ist

Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Marie Ennemond Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises S_{1} oder des Intervalls I_{1}=[0;1] in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von I_{1} nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von S_{1} wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)

Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.

Beispiele

Der Einheitskreis mit der Parametrisierung

\varphi (t)=(\cos(t),\sin(t)), t\in [0,2\pi ]

ist eine geschlossene Jordankurve.

Der Weg

\varphi (t)=(\cos(t),\sin(t)) mit t\in [0,3\pi ]

liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z.B.

\varphi (1)=\varphi (2\pi +1).

Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.

Die Strecke

\varphi (t)=(t,0) mit t \in [0, 1]

ist eine (offene) Jordankurve.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 09.09. 2019