Terminale σ-Algebra
Als terminale σ-Algebra oder asymptotische σ-Algebra bzw. σ-Algebra der terminalen/asymptotischen Ereignisse, englisch tail σ-field, wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine spezielle σ-Algebra bezeichnet. Sie findet Anwendung bei der Untersuchung von Grenzwerten und enthält anschaulich alle Ereignisse, deren Eintreten sich nicht durch die Abänderung von endlich vielen Folgengliedern ändert. Bekannteste Anwendung der terminalen σ-Algebra ist das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz.
Definition
Gegeben sei ein Messraum
sowie eine Folge
von Unter-σ-Algebren von
.
Dann heißt
die terminale σ-Algebra der Folge von σ-Algebren oder einfach die terminale σ-Algebra.
Die terminale σ-Algebra einer Folge von Ereignissen
wird definiert als die terminale σ-Algebra der Folge von σ-Algebren
.
Die terminale σ-Algebra einer Folge von Zufallsvariablen
wird definiert als die terminale σ-Algebra der Folge
der von den Zufallsvariablen erzeugten σ-Algebren.
Die Notation für die terminale σ-Algebra ist in der Literatur nicht
einheitlich. Teils wird sie mit
(für "asymptotisch") bezeichnet, ebenso findet sich
sowie
als Notation.
Aufbauende Begriffe
Jede Menge, die in der terminalen σ-Algebra enthalten ist, wird ein terminales Ereignis oder ein asymptotisches Ereignis genannt.
Eine Funktion ,
die
-
-messbar ist heißt
eine terminale Funktion.
Erläuterung
Die Bedeutung der terminalen σ-Algebra wird durch Auftrennen der Definition klarer: Die σ-Algebra
enthält nach Definition alle Mengen, die in den σ-Algebren
für
enthalten sind.
Die terminale σ-Algebra ist nun der Schnitt aller dieser Mengensysteme
und enthält demnach diejenigen Mengen, die in allen
enthalten sind. Somit enthält die terminale σ-Algebra diejenigen Ereignisse, die
nicht von den ersten
σ-Algebren abhängen. Eine Abänderung von endlich vielen σ-Algebren verändert die
terminale σ-Algebra also nicht.
Eigenschaften
- Die terminalen σ-Algebra ist nicht trivial in dem Sinne, als dass sie mehr
Mengen als nur die Obermenge
und die leere Menge enthält. So sind beispielsweise der Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen terminale Ereignisse, also in der terminalen σ-Algebra enthalten. Ebenso existieren nichttriviale terminale Funktionen. Zu ihnen gehören beispielsweise der Limes superior und Limes inferior einer Folge von Zufallsvariablen, genauso wie die Grenzwerte des Cesàro-Mittels von Zufallsvariablen.
- Eine der wichtigsten Aussagen über die terminalen σ-Algebra ist das
Kolmogorowsche
Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass wenn
stochastisch unabhängige σ-Algebren auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
sind, die terminale σ-Algebra eine P-triviale σ-Algebra ist, also für jedes terminale Ereignis
entweder
oder
gilt.
- Außerdem ist die terminale σ-Algebra immer in der austauschbaren
σ-Algebra
enthalten. Ist
eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen, so gibt es auch für jedes austauschbare Ereignis
ein terminales Ereignis
, so dass
.
Allgemeinere Definitionen
Die obige Definition der terminalen σ-Algebra wird in der Literatur wie folgt verallgemeinert:
- Sie wird nicht für Folgen von σ-Algebren definiert, sondern allgemeiner
für Folgen von beliebigen Mengensystemen
. Die terminalen σ-Algebra ist dann immer noch eine σ-Algebra, allerdings bleiben einige Aussagen ohne Zusatzannahmen über die Mengensysteme nicht richtig. Zu diesen Aussagen gehört auch das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz.
- Sie wird für beliebige abzählbar
unendliche Indexmengen
definiert. Dabei wird die Idee der obigen Definition, dass terminale Ereignisse nicht von den ersten k Ereignissen beeinflusst werden, so angepasst, dass terminale Ereignisse nicht von der Abänderung von endlich vielen Ereignissen beeinflusst werden. Dementsprechend ist die terminale σ-Algebra dann definiert als
.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6. .
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.> .
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.02. 2021