Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{k}$

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist $\alpha$ ganzzahlig und $\alpha \geq 0$ , so bricht die Reihe nach dem Glied $k=\alpha$ ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges $\alpha$ und für $\alpha <0$ liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von $(1+x)^{\alpha }$ mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form $(a+b)^{n}$ kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\alpha$ und alle reellen im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom $(1+x)^{{\alpha }}$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha ,x\in {\mathbb C}$ ; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha \in {\mathbb C}\setminus {\mathbb N}$ gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei |x|=1 und $\alpha \in {\mathbb {C}}\setminus {\mathbb {N}}$ .

Die Reihe $\textstyle \sum _{{k=0}}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn ${\mathrm {Re}}(\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist. [ ${\mathrm {Re}}(\alpha )$ = Realteil von α]
Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn ${\mathrm {Re}}(\alpha )>-1$ ist.
Für konvergiert die Reihe genau dann, wenn ${\mathrm {Re}}(\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man $\alpha=-1$ und ersetzt durch so erhält man

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{-1 \choose k}(-x)^{k}\,.$

Da ${\tbinom {-1}{k}}=(-1)^{k}$ ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als $\textstyle \sum _{{k=0}}^{\infty }x^{k}$ . Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

$(1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}$
(ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{{-1}}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-x)^{k}$
${\sqrt {1+x}}=(1+x)^{{1/2}}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de