Vollständiges Maß

Ein vollständiges Maß sowie ein vollständiger Maßraum sind Begriffe aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Ein Maßraum ist vollständig, wenn er alle Mengen mit Volumen null enthält. Das zum Maßraum zugehörige Maß heißt dann vollständig.

Definition

Ist $(\Omega ,{\mathcal {A}}^{*},\mu ^{*})$ ein Maßraum, so heißt dieser vollständig, wenn für jede Menge $N\in {\mathcal {A}}^{*}$ mit $\mu ^{*}(N)=0$ auch alle Teilmengen $A\subseteq N$ in ${\mathcal {A}}^{*}$ liegen. Ist der Maßraum vollständig, so nennt man auch das Maß $\mu ^{*}$ vollständig. Ist $M_{1}=(\Omega ,{\mathcal {A}}^{*},\mu ^{*})$ der kleinste vollständige Maßraum, der den Maßraum $M_{2}=(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ enthält, so heißt $M_{1}$ die Vervollständigung von $M_{2}$ .

Vervollständigung von Maßräumen

Ist $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und ${\mathcal {N}}$ das System aller Teilmengen von $\mu$ -Nullmengen, so lässt sich der Maßraum wie folgt vervollständigen: Man definiert eine zweite σ-Algebra als

${\tilde {\mathcal {A}}}:=\{A\cup N\,|\,A\in {\mathcal {A}},N\in {\mathcal {N}}\}$

und ein Maß

${\tilde \mu }(A\cup N):=\mu (A)$ .

Dann ist der Maßraum $(\Omega ,{\tilde {\mathcal {A}}},{\tilde \mu })$ vollständig und sogar der kleinste vollständige Maßraum, der $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ enthält.

Alternativ kann man auch das von $\mu$ erzeugte äußere Maß $\mu ^{*}$ betrachten. Schränkt man dieses auf die σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{{\mu ^{*}}}$ der $\mu ^{*}$ -messbaren Mengen ein, so ist $(\Omega ,{\mathcal {A}}_{{\mu ^{*}}},\mu ^{*}|_{{{\mathcal {A}}_{{\mu ^{*}}}}})$ ein vollständiger Maßraum.

Beispiele

Ist ein äußeres Maß $\nu$ gegeben und ist ${\mathcal {A}}_{\nu }$ die σ-Algebra der $\nu$ -messbaren Mengen sowie $\mu :=\nu |_{{{\mathcal {A}}_{\nu }}}$ das zugehörige Maß, so ist der Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}}_{\nu },\mu )$ vollständig. Dies folgt schon aus der Definition der $\nu$ -Messbarkeit, da wenn $B\subset A\in {\mathcal {A}}_{\nu }$ ist mit $\nu (A)=0$ , so folgt aus den Eigenschaften des äußeren Maßes $\nu (B)=0$ und daher $B\in {\mathcal {A}}_{\nu }$ .

Ein bekanntes Beispiel für eine Vervollständigung ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes zum Lebesgue-Maß. Diese Vervollständigung erklärt auch, warum die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen größer ist als die der Borel-messbaren Mengen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de