Airy-Funktion
Die Airy-Funktion
bezeichnet eine spezielle
Funktion in der Mathematik. Die Funktion
und die verwandte Funktion
,
die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen
Differentialgleichung
auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.
Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy
benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik
verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung
wurde von Harold
Jeffreys eingeführt.
Definition
![Airy plot.svg](bilder/300px-Airy_plot.svg.png)
Für reelle Werte
ist die Airy-Funktion als Parameterintegral
definiert:
Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die
Airy-Funktion zweiter Art :
Eigenschaften
Asymptotisches Verhalten
Für
gegen
lassen sich
und
mit Hilfe der WKB-Näherung
approximieren:
Für
gegen
gelten die Beziehungen:
Nullstellen
Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen
Achse.
Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für
zu
Spezielle Werte
Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für
die folgenden Werte:
Hierbei bezeichnet
die Gammafunktion. Es folgt,
dass die Wronski-Determinante
von
und
gleich
ist.
Fourier-Transformierte
Direkt aus der Definition der Airy-Funktion
(siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.
Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.
Weitere Darstellungen
- Unter Verwendung der hypergeometrischen
Funktion
- Für
lassen sie sich auch mit der modifizierten Bessel-Funktion erster Art
so darstellen:
- Eine andere unendliche Integraldarstellung für
lautet
- Es gibt die Reihendarstellungen
Komplexe Argumente
und
sind ganze
Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch
fortsetzen.
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Verwandte Funktionen
Airy-Zeta-Funktion
Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als
wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von
geht.
Scorersche Funktionen
![](bilder/220px-Mplwp_Scorers_Gi_Hi.svg.png)
Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen
und
zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten
Sie lassen sich auch durch die Funktionen
und
darstellen.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.12. 2021