Abelsche Identität

Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel hergeleitet.

Aussage

Gegeben sei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\ y''(x)+P(x)y'(x)+Q(x)y(x)=0$ .

Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann

$W(x)=W(x_{0})\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}P(\xi )\,{\rm {d}}\xi \right)$ .

Beweis

Nach Definition ist $\ W(x)=\det \Phi (x)$ , worin $\ \Phi$ ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

$\ Y'(x)=A(x)Y(x)$ mit $A(x):={\begin{pmatrix}0&1\\-Q(x)&-P(x)\\\end{pmatrix}}$

ist. Gemäß der liouvilleschen Formel gilt

$W(x)=W(x_{0})\exp \left(\int _{x_{0}}^{x}{\rm {Spur}}(A(\xi )){\rm {d}}\xi \right)=W(x_{0})\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}P(\xi )\,{\rm {d}}\xi \right)\ .$

Anwendung

Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle $x_{0}$ für alle anderen zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn $P(x)\equiv 0$ gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.

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