Semiprimideal
Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.
Definition
Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
- Ist
ein Ideal von R mit 
,
dann ist 
. - Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.
Eigenschaften
- Ein Ring R heißt semiprim, wenn
ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung 
,
wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein
semiprimer Ring subdirektes
Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim
ist. - Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
- Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.09. 2019