Multinomialtheorem

In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung der Binomischen Formel auf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Formel

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen $k_{1},\ldots ,k_{n}$ und $k:=\!\,k_{1}+\ldots +k_{n}$ definiert als

${k \choose k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}}:={\frac {k!}{k_{1}!\cdot \,\ldots \,\cdot k_{n}!}}.$

Der Multinomialsatz lautet dann

$(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{k}\,=\sum _{{k_{1}+\ldots +k_{n}=k}}{k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}\,\cdot \,x_{1}^{{k_{1}}}\cdot x_{2}^{{k_{2}}}\cdots x_{n}^{{k_{n}}}.$

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex $\alpha$ :

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{k}=\sum _{{|\alpha |=k}}{{k} \choose \alpha }\cdot x^{\alpha }$

Dabei identifiziert man mit dem Vektor $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb{R} ^{n}$ .

Anwendung

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

$n^{k}=(1+\cdots +1)^{k}=\sum _{{|\beta |=k}}{\frac {|\beta |!}{\beta !}}\geq {\frac {|\alpha |!}{\alpha !}}\qquad \qquad \forall \alpha {\text{ mit }}|\alpha |=k$

$\Leftrightarrow |\alpha |!\leq n^{{|\alpha |}}\cdot \alpha !$

Beweisskizze

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder per Induktion über unter Zuhilfenahme der Binomischen Formel beweisen.

Siehe auch

Multinomialverteilung

Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de