Clausius-Mossotti-Gleichung

Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl \varepsilon _{\mathrm {r} } mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit \alpha . Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

{\displaystyle P_{m}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}{\frac {M_{m}}{\rho }}={\frac {N_{\mathrm {A} }}{3\,\varepsilon _{0}}}\alpha }

Dabei ist

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d.h., es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

Herleitung

Die makroskopische Polarisation {\vec {P}} ist die Summe aller induzierten Dipole {\vec  {p}}_{{{\text{ind}}}} geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

{\displaystyle {\vec {P}}=N{\vec {p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}}}

wobei N die Teilchenzahldichte, \alpha Polarisierbarkeit, {\vec  {E}}_{{{\text{lokal}}}} lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität \chi bzw. die Permittivitätszahl \varepsilon _{\mathrm {r} } stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

{\displaystyle {\vec {P}}=\chi \varepsilon _{0}{\vec {E}}=\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}}

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

{\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}}}

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  {\displaystyle {\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}}  und daraus:

{\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)={\frac {N}{\varepsilon _{0}}}\alpha }

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

{\displaystyle {\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{\text{L}}}
{\vec {E}}: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),
{\displaystyle {\vec {E}}_{\text{L}}={\vec {P}}/(3\varepsilon _{0})}: Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

{\displaystyle {\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {P}}={\vec {E}}+{\frac {\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {E}}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}}

Eingesetzt in obige Gleichung:

{\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}}

Umstellen liefert:

{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}}

Bzw. nach \varepsilon _{r} aufgelöst:

{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=1+\chi _{e}=1+{\frac {3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }}}

Nun kann man noch die Teilchendichte N durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte \rho , molare Masse M_m und Avogadrokonstante N_{\mathrm {A} }):

{\displaystyle N={\frac {N_{A}\rho }{M_{m}}}}

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}{\frac {M_{m}}{\rho }}={\frac {N_{\mathrm {A} }}{3\varepsilon _{0}}}\alpha }

Bzw. nach \varepsilon _{\mathrm {r} } aufgelöst:

{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=1+\chi _{e}=1+{\frac {3N_{\mathrm {A} }\rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0}-N_{\mathrm {A} }\rho \alpha }}}

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 07.02. 2020